1.3 More examples

這節提供了大量不同的範疇
跟著一個一個來看

  1. 上一節說的所有集合的範疇

  2. \(FinSet\)
    所有有限集合的範疇
    其中有限集合指的是子集皆為有限集合
    子集的子集也都為有限集合
    子集的子集的子集也都為有限集合然後……的集合

  3. \(Pfn\)
    和(1)類似
    物件一樣是集合
    但是箭頭可以是部分函數(partial function)

  4. \(Set_\star\)
    pointed set的範疇
    物件：
    所有非空集合
    其中每個集合都有一個特別的物件
    A的特別物件寫作\(\star_A\)
    箭頭：
    對於所有物件\(A\)和\(B\)
    所有\(f(\star_A) = \star_B\)的\(f\)

    書中接下來似乎會提到\(Pfn\)和\(Set_\star\)在某種程度上是一樣的
    這個範疇和以上幾個範疇的不同之處
    是這樣的範疇的集合有著某些結構(structure)(根據書中的說法)
    以下要考慮有更多結構的集合

  5. 更為精確
    monoid(monoid)的集合
    如果你會Haskell的話
    對monoid應該很熟悉吧
    monoid\(M\)是個特殊物件被稱作\(1_M\)的pointed set
    除此之外monoid還有某個具封閉性的二元運算
    以下稱為\(\cdot\)
    並且要滿足以下特性

    1. \(\cdot\)是可結合的
      也就是說當你寫\(a \cdot b \cdot c\)時不需要括號

    2. \(1_M\)是\(M\)的單位元
      也就是說\(1_M \cdot a = a = a \cdot 1_M\)

    現在來討論物件為所有monoid的範疇\(Mon\)
    在\(Mon\)裡面
    箭頭是所有monoid之間的同態(homomorphism)
    同態又是啥咧
    二元運算為\(\cdot\)的monoid\(M\)和二元運算為\(\times\)的monoid\(N\)的同態\(f\)必須滿足2個條件

    1. \(\forall x, y \in M(f(x \cdot y) = f(x) \times f(y))\)
    2. \(f(1_M) = 1_N\)
      identity是這樣monoid在自身上的同態
      複合則是同態的複合

    接下來繼續為集合加上更多結構

  6. monoid和monoid之間的同態形成一個範疇
    接下來要再舉幾個同態為範疇箭頭的例子
    包含了：

    1. \(Grp\)
      物件：群(group)
      箭頭：群同態

    2. \(Ab\)
      物件：阿貝爾群(abelian group)
      箭頭：群同態

    3. \(Rng\)
      物件：環(ring)
      箭頭：環同態

    4. \(Bool\)
      物件：布林代數(Booleean algebra)
      箭頭：呃坦白說我不知道這啥

    依此類推

  7. \(Rel\)
    這是第一個箭頭不是函數的範疇
    在\(Rel\)中
    物件一樣是一般的集合
    但箭頭變成了二元關係(relation)
    什麼是關係呢？
    \(A\)的元素\(a\)和\(B\)的元素\(b\)有關係是一個命題
    但不一定任何\(A\)的元素都和任何\(B\)的元素有關係(要看是什麼關係)
    identity是\(a\)和\(a\)有關係
    關係\(R\)和關係\(S\)的複合\(S \circ R\)則是\(a\)和\(c\)有關係若且唯若存在\(b\)使得\(a\)和\(b\)有關係\(R\)且\(b\)和\(c\)有關係\(S\)
    用符號好像比較清楚
    看書吧

  8. 前面介紹過所有monoid和同態形成的範疇
    現在要說的是
    單獨一個monoid也是一個範疇
    其中物件是 呃 某個東西
    書裡面叫它\(\star\)
    注意每個monoid的範疇都只有一個物件
    箭頭則是群的成員
    因為只有一個物件
    所以每個箭頭的源頭和目標都顯而易見
    \(g \circ f\)是群的二元運算\(g \cdot f\)
    換句話說
    monoid就是只有一個物件的範疇

  9. \(Ord\)
    這個範疇的物件是所有預序集合(pre-ordered set)
    什麼是預序集合？
    一個集合\(S\)以\(\preceq\)為預序若且唯若對於集合中的每個元素\(x, y, z\)

    1. \(x \preceq x\)
    2. \(x \preceq y \wedge y \preceq z \to x \preceq z\)

    \(Ord\)的箭頭則是單調函數(monotone function)
    兩個預序集合之間的函數為單調若且唯若\(x \preceq_1 y \to f(x) \preceq_2 f(y)\)

  10. 所有monoid是一個範疇
    單一個monoid也是一個範疇
    或許你已經注意到了
    單一個預序集合也是一個範疇
    看看預序集合的定義
    這樣的範疇便顯而易見

  11. \(Poset\)
    以偏序集合為物件
    一個集合是偏序若且唯若它的預序\(\preceq\)還滿足\(x \preceq y \wedge y \preceq x \to x = y\)的性質
    箭頭……猜猜是什麼？
    一樣是單調函數
    你一定也能想到
    單一個偏序集合也是一個範疇

  12. 要解釋接下來舉的這幾個範疇
    需要比較多背景知識
    如果你和我一樣沒有數學背景
    先看看這篇文章吧

    看完了嗎？好

(未完成)