1.1 The very idea of a category

看到了第1章
這章節正式介紹了何謂範疇(category)
範疇是啥呢？
一個範疇包含了兩種資料(data)
一是物件(object)
二是箭頭(arrow)
箭頭的頭被稱為目標(target)
尾則被稱為源頭(source)
每個箭頭的目標和源頭都必須分別是一個特定物件
之後一個箭頭會被寫成\(f: A \to B\)或\(A \overset{f}{\rightarrow} B\)
代表著\(f\)是源頭為\(A\)且目標為\(B\)的箭頭
而且對於任意兩個箭頭\(f\)和\(g\)
存在他們的複合(composition)
寫作\(g \circ f\)
這個用圖會比較清楚
假設有3個物件\(A, B, C\)
\(A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C\)
那麼一定可以找到一個\(A\)到\(C\)的箭頭
寫作\(g \circ f\)

這邊要特別澄清一點
假設\(A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C\)
你想要有一個\(A \to C\)的箭頭
你可能會想著先從\(A\)走到\(B\)再從\(B\)走到\(C\)
所以寫成\(f \circ g\)
但這是不對的
為什麼？
因為箭頭在很多範疇中都代表著函數
在那樣的狀況下
源頭就是函數的定義域
目標則是對應域
事實上
上面用的符號和函數符號是一樣的
假設我們有\(f: A \to B\)和\(g: B \to C\)
函數的複合被定義成\(g(f(x))\)
寫成\((g \circ f)(x)\)在這樣的狀況下便是很自然的方式了
值得一提的是
箭頭不一定要是函數
在範疇論的世界裡
連函數的概念都被抽象掉了

除此之外
一個範疇還必須滿足以下這些額外條件：

  1. 箭頭滿足結合律(associativity)
    也就是說
    \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)
    用白話文說
    複合的執行順序並不重要
    因此之後大可把\(h \circ (g \circ f)\)或\((h \circ g) \circ f\)寫成\(h \circ g \circ f\)(省略括號)

  2. 每個物件都存在從自己指向自己的箭頭
    稱為identity
    \(A\)的identity寫作\(1_A\)

1.1節就到此結束